哥德尔的两个不完全性定理是20世纪数理逻辑和数学基础最重要的结果之一，它对20世纪早期的数学哲学立场，无论是形式主义、直觉主义还是逻辑主义都造成了一些麻烦。在当代数学哲学的讨论中，无论是提出、支持、反驳任何一种数学哲学立场，都要建立在哥德尔不完全性定理的影响之上来阐述。那么当代数学哲学的各种立场，包括形式主义、直觉主义和逻辑主义在现代的支持者，以及结构主义者、自然主义者、柏拉图主义者、虚构主义者，他们今天会如何回应哥德尔不完全性定理造成的（对他们所支持的哲学立场的）挑战，又会如何评估哥德尔不完全性定理的哲学意义？
目前好像还没有数学哲学这个标签，不知道可不可以自己创建？
我的理解是：不完全定理主要是对单个数学（或逻辑）体系可能拥有的表达能力（expressibility）和推导能力（inferential power）做出限定，主要就是完结了【一个体系走天下】这个理念。很多数哲立场最早都是假设【一个体系走天下】的，但实际上这个理念并不是它们的核心，所以很多立场默默地把这一段改了也就没事了。说实在虽然说历史上不完全定理终结了Hilbert的formalism，但我仍觉得那是一个accidental feature，不是说有不完全定理就绝对不能有formalism这种
我仅了解的：我之前的老师Wesley Wrigley的博士论文写的就是哥德尔不完全定理的哲学意义，你可以看一下。
记得Gödel’s Disjunction: The scope and limits of mathematical knowledge这本书讨论了与Incompleteness Theorem有关的问题，或许能提供一些思路