以前有注意到过这个问题，但是当时没有找到比较靠谱的资料，觉得可能以后就会了解到吧。
但是今天看别人争论提起了很大好奇心，就来提问了。
罗列一下他人的争论大致是:
我以前是认为逻辑学为数学奠基（罗素式的观点），然后任何一种数学语言都是形式语言，都可以被给出逻辑学的刻画。现在看了点数理逻辑又感觉一个带Model的Formal Language的基础之一是「集合」这一概念，这样一来逻辑学的（部分）基础就在集合论，而集合论算是逻辑学还是数学就不太分得清楚了。。
你放的图里面的那个“实在论者”说逻辑学是（他定义下的）数学的一种，然后说这是主流认知。这个感觉有点意思，不知道到底是不是学界主流意见，希望有懂的人解答一下哈哈。
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资料的话，steward shapiro有一本introduction to philosophy of logic and mathematics
我个人一般会把非应用数学与逻辑学视为一个连续的整体，物理学基本上=数学+形而上学解释
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我觉得这个问题很像是一种“第一性”问题，一般人对这个问题的期待是“逻辑是数学的一部分”或者“数学是逻辑的一部分”，但是就和唯心唯物的问题一样，非要区分哪个先来的不一定是有意义的，而考虑他们之间是不是可以相互转换更有意义。
按这么思考的话，我的观点和楼上是一样的，纯数学和逻辑是一个整体，并不需要区分谁是谁的一部分，而往大了说还有很多东西可以包进来，例如curry howard同构会把程序也包含进这个逻辑-数学整体
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就我个人学习体验来说，逻辑学和其他数学领域的区别只是领域不同而已。例如，没有选择公理Henkin式的一阶逻辑完全性证明就不对了。直觉主义逻辑也很深刻地影响了许多数学理论。我学的任何一门现代逻辑课程都不会区分彼此。
那位友人的观点大概也不是主流的逻辑哲学观点，至少自从弗雷格和胡塞尔批评过逻辑心理主义以来就不是了。（当然只是我认识的学者观点，我个人没有仔细了解过。）
你们讨论的核心问题其实是对的，但是稍微有点歪。你们讨论的其实是数学是什么的问题，这是个好问题，但是讨论逻辑学和数学的关系，不见得一定要先要给两者各自下定义，因为一般相信逻辑实在的也会相信数学实在，反之亦然，不太容易出现相信一个不相信另一个（如果是这样，那么两者关系的答案就是没有关系），我们其实只要比较两者的异同就可以了。
理论上来说逻辑和数学是平行关系，因为数学可以被看作是关于“等于”的运算，而逻辑不是，逻辑是寻找命题（或词项）之间的关系，他的结果是tautology而不是equal。然后这个平行关系究竟是被解读为上下关系还是前后关系还是内外关系就见仁见智了，站在语言哲学的角度会认为逻辑和语言以及语言后面的经验世界的接口更加友好一些，而数学和经验世界的接口需要很多人为规定的单位，比如一克的定义、一毫米的定义，相反逻辑和语言结合的程度更高。
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简单说，数学是对"结构"的形式刻画和理解。逻辑是对“推理有效性”(validity)的刻画和理解。我提供一种思考的方式：
如果我们是逻辑多元主义者的话（换句话说，我们认可存在不止一种正确的逻辑），那么我们认可多种正确的数学：基于古典逻辑的数学，直觉主义的数学，等等。
如果我们是逻辑一元主义的话（我们认可唯一一种正确的逻辑），那么正确的逻辑规范正确的数学及其推理。（比如，如果认可古典逻辑是唯一正确的逻辑，那么直觉主义的数学不具有逻辑有效性）。
需要注意的是：对于某种推理有效性建立的逻辑形式系统本身是一种数学模型。